El Origen de la Variable Compleja

 Pensemos en la Ecuación:

x²+1=0

De acuerdo a lo que hemos aprendido en Álgebra, esta ecuación no tiene solución, porque al aplicar la formula general para ecuaciones de segundo grado, tendremos que los valores son negativos, o bien al despejar queda:

Y eso no existe en Álgebra, por lo que se propuso una nueva definición:

Con esta definición, podemos encontrar soluciones a la ecuación, pero a la vez, surge una nueva rama de las Matemáticas, llamada Variable Compleja, en la cual se construye un nuevo tipo de numero, el Complejo, que se define como.

 En donde x es llamada la parte Real, y es la parte Imaginaria, por lo que es un numero bidimensional, que se representa en un plano llamado de Argand, muy semejante al plano Cartesiano, pero con un eje real y otro imaginario.

 De esta forma, tenemos una nueva representación del numero complejo z, la vectorial, en la que el componente x es el real con la y el eje imaginario, como es evidente, esto nos permite usar muchas de las propiedades que ya conociamos de los vectores.

 Conjuntos de Números y Álgebra expandida

Este nuevo tipo de numero, implica dos cosas, primero, tenemos que ampliar nuestra idea de conjuntos de números, ya sabíamos que.

ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ

Esto es, hay un orden de contención entre los diferentes conjuntos de números, ahora tendremos que:

ℝ⊂ℂ

Los reales, son un subconjunto de los complejos, para dejarlo mas claro.

z=x+iy

Si y=0 ⇒ z=Re(z)=x

Un complejo se puede reducir a un numero real, lo mismo pasaría si x=0

Segundo, ya tenemos solución para cualquier raíz negativa, de la forma.

Los números complejos tienen propiedades, lo cual sera la próxima entrada